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微分流形

Definition 1.1 微分流形

一个Hausdorff空间MM对于每一点的邻域都与欧式空间 Rn\mathbb{R}^n 的开集存在同胚，则称流形MM是nn维拓扑流形

Definition 1.2 坐标卡与转移映射

覆盖流形 MM 的开集族 UU, 欧式空间的开集族 VV 与开集间的同胚 φ\varphi 的三元组构成流形 MM 的坐标卡 (φ,U,V)(\varphi,U,V)

对于两个坐标卡 (φ,U1,V1),(ψ,U2,V2)(\varphi,U_1,V_1),(\psi,U_2,V_2), 转移映射定义为在流形的两个坐标图之间的映射

{φ∣U1∩U2∘(ψ∣U1∩U2)−1:ψ(U1∩U2)→φ(U1∩U2)ψ∣U1∩U2∘(φ∣U1∩U2)−1:φ(U1∩U2)→ψ(U1∩U2)\begin{dcases} \varphi\Big|_{U_1\cap U_2}\circ (\psi\Big|_{U_1\cap U_2})^{-1}: \psi(U_1\cap U_2)\to \varphi(U_1\cap U_2)\\ \psi\Big|_{U_1\cap U_2}\circ (\varphi\Big|_{U_1\cap U_2})^{-1}: \varphi(U_1\cap U_2)\to \psi(U_1\cap U_2)\\ \end{dcases}

如果转移映射是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的

Definition 1.3 积流形

对于mm维流形MM与nn维流形NN，积空间M×NM\times N赋予积拓扑是m+nm+n维流形。对于流形MM的坐标卡(φ,U1,V1)(\varphi,U_1,V_1)与流形NN的坐标卡(ψ,U2,V2)(\psi,U_2,V_2), 三元集(φ×ψ,U1×U2,V1×V2)(\varphi\times \psi, U_1\times U_2, V_1\times V_2)是M×NM\times N的坐标卡

一个nn维拓扑流形MM，总满足

  • MM是Hausdorff空间
  • MM是第二可数的
  • MM是局部欧式空间

Corollary1.1

若拓扑流形 MM 可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了 MM 上
的一个光滑结构.

显然，对于坐标卡 (φ,U,V)(\varphi,U,V),转移映射 φ∘φ−1(x)=x\varphi\circ\varphi^{-1}(x) = x 是光滑的

Example 1.1 映射图像的光滑结构

对于欧式开集 U⊂RmU\subset \mathbb{R}^m 与 f:U→Rnf:U\to \mathbb{R}^n，定义ff的图像为

Γ(f)={(x,y)∣x∈U,y=f(x)}⊂Rm+n\Gamma(f) = \{(x,y)\big|x\in U, y=f(x)\}\subset \mathbb{R}^{m+n}

有自然投射 φ:Γ(f)→U,φ(x,y)=x\varphi:\Gamma(f)\to U, \varphi(x,y) = x 为局部同胚。赋予坐标卡 (φ,Γ(f),U)(\varphi,\Gamma(f),U)，这个坐标卡单独覆盖了整个流形， 则 Γ(f)\Gamma(f) 为一个 mm 维光滑流形

Example 1.2 球面的光滑结构

Rn+1\mathbb{R}^{n+1} 的单位球面

Sn={(x1,⋯ ,xn,xn+1)}S^n = \{(x^1,\cdots,x^n,x^{n+1})\}

考虑通过南北两个开子集覆盖SnS^n

U+=Sn {}U_+ = S^n \ \{\}